Question

【题目】已知函数f(x)＝a(x﹣1)﹣lnx(a∈R)，g(x)＝(1﹣x)ex.

（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）若对任意给定的x0∈[﹣1，1]，在区间(0，e]上总存在两个不同的xi(i＝1，2)，使得f(xi)＝g(x0)成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）[，+∞)

【解析】

（1）首先求出函数的导数，分a≤0和a>0两种情况讨论，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间；

（2）首先利用导数求出g(x)的值域为[0，1]，根据（1）可排除a≤0和0＜a的情况，由函数f(x)的单调性和图象分析可知，a满足以下条件时符合题意，结合构造函数求解不等式即可得到结果.

（1）f(x)＝a(x﹣1)﹣lnx，x＞0，则f′(x)＝a，

①当a≤0时，f′(x)＜0，函数f(x)在(0，+∞)上为减函数，

②当a>0时，令f′(x)＞0得x，令f′(x)＜0得0＜x.

故f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，+∞)，

综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0，+∞)上为减函数，

当a>0时，f(x)在(0，)上为减函数，在(，+∞)为增函数；

（2）∵g(x)＝(1﹣x)ex，∴g′(x)＝﹣xex，

当x∈[﹣1，0)时，g′(x)>0，当x∈(0，1]时，g′(x)<0，

又g(0)＝1，g(1)＝0，g(﹣1)，∴当x∈[﹣1，1]时，g(x)的值域为[0，1]，

由（1）可知，①当a≤0时，函数f(x)在(0，e]上为减函数，不满足题意；

②当e，即0＜a时，函数f(x)在(0，e]上为减函数，不满足题意；

③当0e时，即a时，函数f(x)在区间(0，)上为减函数，在(，e]上为增函数，

又x＞0，且x→0时，f(x)→+∞，函数f(x)的大概图像如下图，

故对任意给定的x0∈[﹣1，1]，在区间(0，e]上总存在两个不同的xi(i＝1，2)，使得f(xi)＝g(x0)成立，

当且仅当a满足以下条件，即（*）

令h(a)＝1﹣a+lna，a∈(，+∞)，则h′(a)＝﹣1，

当a＜1时，h′(a)＞0，当a＞1时，h′(a)＜0，

∴函数h(a)在(，1)上为增函数，在(1，+∞)上为减函数，故h(a)max＝h(1)＝0，

从而（*）等价于，故a，故a的取值范围为[，+∞)．