题目内容
【题目】如图，四棱锥
中，
，
，
与
都是等边三角形，且点
在底面
上的射影为
.
（1）证明：为
的中点；
（2）求异面直线
与
所成角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）连接AC，取AC的中点N，连接MN，DN，利用线面垂直的判定证明点M在底面上的射影为N，结合点M在底而ABCD上的射影为O，可得N与O重合，即O为AC的中点；
（2）设
，
，求解三角形可得
.再由DA＝DC，O是AC的中点，得
，得到
，故异面直线MD与BC所成角为
.在
中求解，可得异面直线
与
所成的角.
（1）证明：接
，取的中点
，连接
、
，
∵
与
都是等边三角形且公共边为，
∴
，
又∵是的中点，
∴
，
在
中，
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
平面
，故点
在底面上的射影为，
又已知点在底面上的射影为
，
∴与重合即为的中点；
（2）设，，
∵
，
为等腰直角三角形，
则
，
，
，
则
，
∴
，
故，
又∵
，是的中点，
∴，
∴，
故异面直线与所成的角为，
在中，
，
∴
，
即异面直线与所成的角为.
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