Question

(本小题满分13分)

设双曲线，点A、B分别为双曲线C实轴的左端点和虚轴的上端点，点、分别为双曲线C的左、右焦点，点M、N是双曲线C的右支上不同两点，点Q为线段MN的中点．已知在双曲线C上存在一点P，使得．

（Ⅰ）求双曲线C的离心率；

（Ⅱ）设为正常数，若点Q在直线上，求直线MN在y轴上的截距的取值范围.　

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）直线MN在y轴上的截距的取值范围是

解析:

（Ⅰ）由题设，点，，，，其中.（1分）

因为，则.

设点P，则，所以，.       （3分）

因为点P在双曲线上，所以，即.       （4分）

因为，所以，即，故离心率．                    （6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则.                                 （7分）

若轴，则Q在x轴上，不合题意.

设直线MN的方程为，代入，得，即

.                            （*）            （9分）

若，则MN与双曲线C的渐近线平行，不合题意.

设点，，，则

，，.                  （10分）

若点Q在直线上，则.

因为点M、N在双曲线的右支上，所以m≠0，从而k＝4.                         （11分）

此时，方程(*)可化为.

由，得.                                （12分）

又M、N在双曲线C 的右支上，则，所以.

故直线MN在y轴上的截距的取值范围是．                         （13分）