题目内容
【题目】关于函数f(x)=sin(x﹣)sin(x+
),有下列命题:
①此函数可以化为f(x)=﹣sin(2x+
);
②函数f(x)的最小正周期是π,其图象的一个对称中心是( , 0);
③函数f(x)的最小值为﹣ , 其图象的一条对称轴是x=
;
④函数f(x)的图象向右平移个单位后得到的函数是偶函数;
⑤函数f(x)在区间(﹣ , 0)上是减函数.
其中所有正确的命题的序号个数是( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】C
【解析】①f(x)=sin(x﹣)sin(x+
)=﹣
[cos(2x+
)﹣cos(﹣
)]=﹣
cos(2x+
)=﹣
sin[
﹣(2x+
)]=﹣
sin(
﹣2x)=﹣
sin[π﹣(
﹣2x)]=﹣
sin(2x+
),故正确;
②由①得f(x)=﹣cos(2x+
),从而解得T=
=π,令2x+
=k
+
可解得:x=
+
, k∈Z,故k=0时,(
, 0)是一个对称中心.故正确;
③由①得f(x)=﹣cos(2x+
),令2x+
=kπ可解得:x=
-
k∈Z,故k=1时,图象的一条对称轴是x=
, 函数f(x)的最小值为﹣
. 故正确;
④函数f(x)的图象向右平移个单位后得到的函数为f(x﹣
)=﹣
cos[2(x﹣
)+
]=﹣
cos[2x﹣
+
]=﹣
cos2x,是偶函数,故正确;
⑤由①得f(x)=﹣cos(2x+
),令2kπ﹣π≤2x+
≤2π,可解得:
-
≤x≤k
-
, k∈Z,即当k=0时函数f(x)在区间(﹣
, ﹣
)上是减函数,故不正确.
综上可得,所有正确的命题的序号个数是4个.
故选:C.
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角函数的积化和差公式的相关知识,掌握三角函数的积化和差公式:;
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