Question

如图，已知正六边形P₁P₂P₃P₄P₅P₆，设a=

P1P2

•

P1P3

，b=

P1P2

•

P1P4

，c=

P1P2

•

P1P5

，d=

P1P2

•

P1P6

；则a，b，c，d的大小关系是

d＜c＜b＜a

．

Answer 1

分析：设正六边形的边长为1，根据正六边形的性质算出向量

P1P2

与其它各个向量的夹角，再利用向量的数量积公式分别算出a、b、c与d的值，即可得到a、b、c、d的大小关系．

解答：解：设正六边形P₁P₂P₃P₄P₅P₆的边长为1，
∵△P₁P₂P₃中，∠P₁P₂P₃=120°，P₁P₂=P₂P₃，
∴∠P₂P₁P₃=30°，P₁P₃=

3

，
可得a=

P1P2

•

P1P3

=

|P1P2|

•

|P1P3|

cos∠P₂P₁P₃=

3

2

．
同理可得：b=

P1P2

•

P1P4

=

|P1P2|

•

|P1P4|

cos∠P₂P₁P₄=1；
c=

P1P2

•

P1P5

=

|P1P2|

•

|P1P5|

cos∠P₂P₁P₅=0；
d=

P1P2

•

P1P6

=

|P1P2|

•

|P1P6|

cos∠P₂P₁P₆=-

1

2

．
综上所述，可得a、b、c、d的大小关系是d＜c＜b＜a．
故答案为：d＜c＜b＜a

点评：本题给出正六边形中的几个向量，求向量数量积的大小关系．着重考查了正六边形的性质、向量数量积的公式等知识，属于中档题．