题目内容
【题目】如图,设椭圆的中心为原点,长轴在
轴上,上顶点为
,左、右焦点分别为
,线段
的中点分别为
,且
是面积为
的直角三角形.
(1)求该椭圆的离心率和标准方程;
(2)过作直线交椭圆于
两点,使
,求
的面积.
【答案】(1),
;(2)
.
【解析】
试题分析:(1)根据是面积为
的直角三角形,
,可知
为直角,从而
,即
,又
,消去
即得离心率,
可得
,从而求得椭圆方程;(2)设直线
的方程为
,代入椭圆方程可得
,根据韦达定理,可得
,写出
的坐标,由于
,据此可求得
的值,因为
的面积
,所以求出
即得
的面积.
试题解析:(1)设椭圆的方程为,
,∵
是面积为
的直角三角形,
,∴
为直角,从而
,得
,∵
,在
中,
,∴
,∵
,∴椭圆标准方程为
.
(2)由(1)知,由题意,直线
的倾斜角不为
,故可设直线
的方程为
,代入椭圆方程,消元可得
,①
设,∵
,
∴,∵
,∴
,∴
,当
时,①可化为
,
∴,
∴的面积
.
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练习册系列答案
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相关公式: ,
=
.