Question

已知圆C：x²+y²-2x-4y-3=0，直线l：y=x+b．
（1）若直线l与圆C相切，求实数b的值
（2）是否存在直线l与圆C交于A、B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点）；如果存在，求出直线l的方程，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先将圆的方程化为标准形式，进而可得到圆心坐标和半径长度，再由圆心到直线l的距离等于半径求出b的值即可．
（2）先设点A，B的坐标，根据OA⊥OB得到两点坐标之间的关系，然后联立直线与圆的方程消去y得到关于x的一元二次方程，再由韦达定理得到两根之和与两根之积后代入所求的关系式，即可求出b的值，从而可求得直线方程．

解答：解：（1）圆的方程化为（x-1）²+（y-2）²=8
所以圆心为（1，2），半径为2

2

∴d=

|1-2+b|

2

=2

2

∴b=5或-3
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵OA⊥OB，∴

y1

x1

•

y2

x2

=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0∵y₁=x₁+b，y₂=x₂+b，
∴x₁x₂+（x₁+b）（x₂+b）=0∴2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0
将y=x+b代入圆方程得：2x²+2（b-3）x+b²-4b-3=0
∴x1+x2=3-b，x1x2=

b2-4b-3

2

∴b²-4b-3+b（3-b）+b²=0，b²-b-3=0，b=

1± 13

2

所以所求直线方程为y=x+

1± 13

2

点评：本主要考查直线与圆的位置关系，考查基础知识的综合运用和灵活能力．直线与圆的位置关系--相切、相交、相离是高考的一个重要考点，平时要多加练习．