题目内容
用函数单调性的定义证明:f(x)=
在区间(-∞,-3)上是增函数.
x-1 | x+3 |
分析:用定义法证明先取任意的x1<x2<-3,代入解析式作差,判断差的符号,然后由定义得出结论.
解答:解:用函数单调性的定义证明:f(x)=
,
设x1<x2<-3,x1+3<0,x2+3<0
f(x2)-f(x1)=
-
=
=
∵(x1+3)(x2+3)>0,x2-x1>0,
∴
>0,
∴f(x2)-f(x1)>0,
∴f(x2)>f(x1),
∴f(x)在区间(-∞,-3)上是增函数;
x-1 |
x+3 |
设x1<x2<-3,x1+3<0,x2+3<0
f(x2)-f(x1)=
x2-1 |
x2+3 |
x1-1 |
x1+3 |
(x2-1)(x1+3)-(x1-1)(x2+3) |
(x2+3)(x1+3) |
4(x2-x1) |
(x2+3)(x1+3) |
∵(x1+3)(x2+3)>0,x2-x1>0,
∴
4(x2-x1) |
(x2+3)(x1+3) |
∴f(x2)-f(x1)>0,
∴f(x2)>f(x1),
∴f(x)在区间(-∞,-3)上是增函数;
点评:本题考查函数单调性的判断与证明,用定义法证明函数的单调性要注意证明的格式即:作取,作差,整理,判号,得出结论.
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