题目内容

已知函数f(x)=x-
1x
,x∈(0,+∞).
(1)用函数单调性的定义证明:f(x)在其定义域上是单调增函数;
(2)若f(3x-2)>f(9x),求x的取值范围.
分析:(1)利用定义法证明单调性,按步骤:取,作差,判断差的符号,得出结论,证明即可;
(2)由(1)函数是增函数,由此可将不等式f(3x-2)>f(9x)转化为3x-2>9x,解此指数型不等式,求x的取值范围
解答:解:(1)任取x1,x2∈(0,+∞).令x1<x2
f(x1)-f(x2)=x1-
1
x1
-(x2-
1
x2
)=(x1-x2)+(
1
x2
-
1
x1
)=(x1-x2)×(1+
1
x1x2

∵x1,x2∈(0,+∞).x1<x2
∴x1-x2<0,1+
1
x1x2
>0
∴f(x1)-f(x2)<0,
故f(x)在其定义域上是单调增函数;
(2)由(1)证明知f(x)在其定义域上是单调增函数,又f(3x-2)>f(9x),
∴3x-2>9x,即3x-2>32x
∴x-2>2x,得x<-2
x的取值范围是x<-2
点评:本题考查函数单调性的判断与证明,解题的关键是熟练掌握定义法证明单调性的步骤及原理,能利用单调性灵活转化不等式,达到化抽象不等式为具体不等式,解出不等式,本题考查了推理论证的能力及转化化归的能力,计算能力
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