已知函数f(x)=xx-1．(Ⅰ)证明:对于定义域中任意的x均有f=2,(Ⅱ)用函数单调性的定义证明函数f上是减函数．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知函数f(x)=

x-1

．
（Ⅰ）证明：对于定义域中任意的x均有f（1+x）+f（1-x）=2；
（Ⅱ）用函数单调性的定义证明函数f（x）在（1，+∞）上是减函数．

分析：（1）将f（1+x）和f（1-x）代入进行化简；
（2）要求用定义证明，所以按步骤：取值-作差-化简-判号-结论证明即可．

解答：证明：（Ⅰ）f(1+x)+f(1-x)=

1+x

1+x-1

1-x

1-x-1

1+x

1-x

=2，
即对于定义域中任意的x均有f（1+x）+f（1-x）=2．
（Ⅱ）设x₁，x₂是（1，+∞）上的两个任意实数，且x₁＜x₂，
f(x2)-f(x1)=

x2-1

x1-1

x2(x1-1)-x1(x2-1)

(x1-1)(x2-1)

x1-x2

(x1-1)(x2-1)

．
因为1＜x₁＜x₂，所以x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₁-x₂＜0，
所以f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
所以f（x）在（0，+∞）上是减函数．

点评：本题考察函数的性质，属基础题，题目比较常规，所以按常规思路解决就很好．

练习册系列答案

（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(

-1)2+(

-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2^m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k²，b=（k+c）²时，记f（x）=f₁（x）；当a=（k+c）²，b=（k+2c）²时，记f（x）=f₂（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞

4c2

k(k+c)

．

已知函数f(x)的图像在[a，b]上连续不断，f₁(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f₂(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f₂(x)－f₁(x)≤k(x－a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)＝x²，x∈[－1，4]为[－1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的值是_________．

已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（）
A．f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）是奇函数
B．f（x）是偶函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数
C．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）一定是奇函数或偶函数
D．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）可以是奇函数或偶函数

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