题目内容
偶函数f(x)在(-∞,0)上是增函数,问它在(0,+∞)是增函数还是减函数?能否用函数单调性的定义证明你的结论?
分析:直接利用偶函数的性质:在关于原点对称的区间上单调性相反即可得出其在(0,+∞)上的单调性;再利用函数单调性的定义证明结论即可.
解答:解:因为偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反;
且f(x)在(-∞,0)上是增函数,
故f(x)在(0,+∞)是减函数.
证明如下:若0<x1<x2<+∞,那么-∞<-x2<-x1<0.
由于偶函数在(-∞,0)上是增函数,故有:f(-x2)<f(-x1)
又根据偶函数的性质可得:f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2)
综上可得:f(x1)>f(x2)
故f(x)在(0,+∞)上是减函数
且f(x)在(-∞,0)上是增函数,
故f(x)在(0,+∞)是减函数.
证明如下:若0<x1<x2<+∞,那么-∞<-x2<-x1<0.
由于偶函数在(-∞,0)上是增函数,故有:f(-x2)<f(-x1)
又根据偶函数的性质可得:f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2)
综上可得:f(x1)>f(x2)
故f(x)在(0,+∞)上是减函数
点评:本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合问题.这一类型题目,主要是考查偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反,而奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同这一结论.
练习册系列答案
相关题目
已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)单调递增,则满足f(
)<f(x)的x取值范围是( )
x+2 |
A、(2,+∞) |
B、(-∞,-1)∪(2,+∞) |
C、[-2,-1)∪(2,+∞) |
D、(-1,2) |
已知定义域为R的偶函数f(x)在(-∞,0]上是减函数,且f(
)=0,则不等式f(log2x)>0的解集为( )
1 |
2 |
A、(0,
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B、(
| ||||||
C、(0,
| ||||||
D、(0,
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