题目内容
如图,椭圆:的右焦点与抛物线的焦点重合,过作与轴垂直的直线与椭圆交于S、T两点,与抛物线交于C、D两点,且.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若过点的直线与椭圆相交于两点,设为椭圆上一点,且满足(为坐标原点),当时,求实数的取值范围.
(Ⅰ)椭圆的方程为 . (Ⅱ)实数取值范围为.
解析试题分析:(Ⅰ)由抛物线方程,得焦点.
所以椭圆的方程为:.
解方程组 得C(1,2),D(1,-2). 由于抛物线、椭圆都关于x轴对称,
∴,, ∴ . 2分
因此,,解得并推得.
故椭圆的方程为 . 4分
(Ⅱ)由题意知直线的斜率存在.
设:,,,,
由得.
,. 6分
,.
∵<,∴,
∴∴,
∴,∴.∴, 8分
∵,∴,
,.
∵点在椭圆上,∴,
∴∴, 10分
∴或,
∴实数取值范围为. 12分
考点:本题主要考椭圆的标准方程,椭圆的几何性质,抛物线的几何性质,直线椭圆的位置关系,平面向量的线性运算。
点评:难题,求椭圆的标准方程,主要运用了抛物线及椭圆的几何性质,建立a,b,c的关系。曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理。本题(2)结合向量的坐标运算,确定得到t的函数式,通过确定函数的值域,达到确定实数取值范围的目的。利用函数思想解题,是一道好例。
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