Question

已知数列{a_n}（n∈N^*）满足：a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*）．定义：使a₁a₂…a_k为整数的k值（k∈N^*）叫“理想数”，则区间[1，2009]内所有“理想数”的和是

2026

．（注：必要时可利用公式logaM=

logbM

logba

）

Answer 1

分析：根据换底公式：logaM=

logbM

logba

，把a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*）代入a₁a₂…a_k并且化简转化为

lg(k+2)

lg2

为整数m，即k+2=2^m，
m∈N*，令m=1，2，3，…，10，可求得区间[1，2009]内的所有“理想数“的和．

解答：解：根据换底公式：logaN=

logbN

logba

，把a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*）代入a₁a₂…a_k有
 a1a2…ak=

lg(k+2)

lg2

=m，m∈N*，
∴k+2=2^m，m∈N*．
k分别可取2²-2，2³-2，2⁴-2…，最大值2^m-2≤2009，m最大可取10，
故和为（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）=2026．
故答案为：2026．

点评：考查数列的综合应用及对数的换底公式，把a₁a₂…a_k化简转化为对数的运算，体现了转化的思想，属中档题．