Question

设函数
(1)设,,证明:在区间内存在唯一的零点;
(2) 设,若对任意,有,求的取值范围;
(3)在(1)的条件下,设是在内的零点,判断数列的增减性.

Answer 1

(1) 见解析；（2）；（3）见解析.

试题分析：(1) 先根据零点存在性定理判断在在内存在零点，在利用导数说明函数在上是单调递增的，从而说明在区间内存在唯一的零点；（2）此问可用两种解法:第一种，当时,，根据题意判断出在上最大值与最小值之差，据此分类讨论如下:(ⅰ)当；(ⅱ)当；(ⅲ)当,综上可知,；第二种，用表示中的较大者，直接代入计算即可；（3）先设出零点，然后根据在上是递增的得出结论.
试题解析：(1),时, 
∵,∴在内存在零点. 又当时, ,∴ 在上是单调递增的,所以在内存在唯一零点.
(2)当时, ，对任意都有等价于在上最大值与最小值之差,据此分类讨论如下:(ⅰ)当,即时, ,与题设矛盾
(ⅱ)当,即时, 恒成立
(ⅲ)当,即时, 恒成立.
综上可知, 
注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并证明如下:
用表示中的较大者.当,即时,
  
 恒成立 .
(3)证法一 设是在内的唯一零点 
,, 
于是有 
又由(1)知在上是递增的,故, 所以,数列是递增数列.
证法二 设是在内的唯一零点
 则的零点在内,故,
所以,数列是递增数列.