Question

设函数f(x)=log

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x，给出下列四个命题：
①函数f（|x|）为偶函数；
②若|f（a）|=|f（b）|其中a＞0，b＞0，a≠b，则ab=1；
③函数f（-x²+2x）在（1，+∞）上为单调增函数；
④若0＜a＜1，则|f（1+a）|＜|f（1-a）|；
则正确命题的序号是______．

Answer 1

∵f(x)=log

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x
∴①函数f（|x|）为偶函数，此命题正确，因为f(-x)=log

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|-x|=log

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|x|=f(x)此函数是一个偶函数，命题是正确命题；
②若|f（a）|=|f（b）|其中a＞0，b＞0，a≠b，则ab=1，此命题是正确命题，因为|f（a）|=|f（b）|其中a＞0，b＞0，a≠b，故有f（a）+f（b）=0，即log

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a+log

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b=0，故有ab=1；
③函数f（-x²+2x）的定义域是（0，2），故复合函数f（-x²+2x）在（1，+∞）上为单调增函数错；
④若0＜a＜1，则|f（1+a）|＜|f（1-a）|，此命题，因为由题意f（1+a）＜0，f（1-a）＞0，若有|f（1+a）|＜|f（1-a）|成立，则f（1+a）+f（1-a）＞0，即f（1-a²）＞0，即1-a²∈（0，1）显然成立；
综上①②④都是正确命题
故答案为①②④