Question

19．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C₂的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．
（1）求曲线C₂的直角坐标方程；
（2）求曲线C₂上的动点M到曲线C₁的距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）曲线C₂的极坐标方程为ρ=）=2（cosθ+sinθ）．利用P（x，y），ρ=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，x=ρcosθ，y=ρsinθ，化简得出曲线C₂的直角坐标方程：（x-1）²+（y-1）²=2，可以判断是一个圆．
（2）圆心到直线的距离d=$\frac{|1-1-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，半径=$\sqrt{2}$，利用圆的几何性质得出曲线C₂上的动点M到曲线C₁的距离的最大值d+r=2$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）∵曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
∴消参数；y+4=x+2，
即y=x-2，
∵曲线C₂的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）=2（cosθ+sinθ）．
P（x，y），ρ=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴ρ²=2ρ（cosθ+sinθ）．
即x²+y²=2x+2y，
曲线C₂的直角坐标方程：（x-1）²+（y-1）²=2，
（2）∵曲线C₁的y=x-2，曲线C₂的直角坐标方程：（x-1）²+（y-1）²=2，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|1-1-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，半径=$\sqrt{2}$，
曲线C₂上的动点M到曲线C₁的距离的最大值2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了直线，圆的方程的参数方程转为普通方程，利用直线方程，圆的方程解决距离问题，思路简单，属于容易题，关键转化为普通方程．