Question

4．已知函数f（x）=（a-1）lnx+ax²+1．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）如果对任意的x₁＞x₂＞0，总有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$≥2，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间．
（2）问题转化成研究g（x）=f（x）-2x在（0，+∞）单调递增，再利用参数分离法求出a的范围即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{a-1}{x}$+2ax=$\frac{2{ax}^{2}+a-1}{x}$，
当a≥1时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；
当a≤0时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；
当0＜a＜1时，令f′（x）=0，解得x=$\sqrt{\frac{1-a}{2a}}$．
则当x∈（0，$\sqrt{\frac{1-a}{2a}}$）时，f′（x）＞0；x∈（$\sqrt{\frac{1-a}{2a}}$，+∞）时，f（x）＜0．
故f（x）在（0，$\sqrt{\frac{1-a}{2a}}$）单调增加，在（$\sqrt{\frac{1-a}{2a}}$，+∞）单调减少．
（2）对任意的x₁＞x₂＞0，总有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$≥2，
等价于对任意的x₁＞x₂＞0，f（x₁）-2x₁≥f（x₂）-2x₂①
令g（x）=f（x）-2x，则g′（x）=$\frac{a-1}{x}$+2ax-2，
①等价于g（x）在（0，+∞）单调递增，即 $\frac{a-1}{x}$+2ax-2≥0．
从而a≥$\frac{2x+1}{{2x}^{2}+1}$在（0，+∞）恒成立，
令h（x）=$\frac{2x+1}{{2x}^{2}+1}$，h′（x）=$\frac{-{4x}^{2}-4x+2}{{（{2x}^{2}+1）}^{2}}$，
令h′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，令h′（x）＜0，解得：x＞$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴h（x）在（0，$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$）递增，在（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，+∞）递减，
∴h（x）_max=h（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
，故a的取值范围为：[$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，+∞）．

点评 本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．