Question

设函数f（x）=ax-

b

x

，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）-t²+t＜0对一切x∈（1，4）恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）证明：曲线f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为一值，并求此定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0，建立方程，可求得a=1，b=3，从而可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）f（x）-t²+t＜0对一切x∈（1，4）恒成立，即f（x）＜t²-t对一切x∈（1，4）恒成立，求出函数的最大值，则问题转化为f（x）＜t²-t对一切x∈（1，4）恒成立，等价于

13

4

≤t²-t，从而可求t的取值范围；
（Ⅲ）设（x₀，x0-

3

x0

）为曲线f（x）上任一点，求出切线方程为，令x=0，可得y=-

6

x0

，切线方程与直线y=x联立，求得交点横坐标为x=2x₀，计算曲线f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积，即可得到结论．

解答：（Ⅰ）解：求导函数可得：f′(x)=a+

b

x2

∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．
∴f（2）=

1

2

∴a+

b

4

=

7

4

，2a-

b

2

=

1

2

∴a=1，b=3
∴f（x）的解析式为f(x)=x-

3

x

；
（Ⅱ）解：f（x）-t²+t＜0对一切x∈（1，4）恒成立，即f（x）＜t²-t对一切x∈（1，4）恒成立
∵x∈（1，4），f′(x)=1+

3

x2

＞0
∴函数f（x）在（1，4）上单调增，且f(4)=4-

3

4

=

13

4

∴f（x）＜t²-t对一切x∈（1，4）恒成立，等价于

13

4

≤t²-t
即t²-t-

13

4

≥0
∴t≤

1- 14

2

或t≥

1+ 14

2

（Ⅲ）证明：设（x₀，x0-

3

x0

）为曲线f（x）上任一点，则切线的斜率为1+

3

x02

，
切线方程为y-（x0-

3

x0

）=(1+

3

x02

)(x-x0)，令x=0，可得y=-

6

x0

切线方程与直线y=x联立，求得交点横坐标为x=2x₀
∴曲线f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值

1

2

×|2x0|×|-

6

x0

|=6．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是确定切线的方程．