Question

已知等比数列{a_n}的公比为q，首项为a₁，其前n项的和为S_n．数列{a_n²}的前n项的和为A_n，数列{（-1）ⁿ⁺¹a_n}的前n项的和为B_n．
（1）若A₂=5，B₂=-1，求{a_n}的通项公式；
（2）①当n为奇数时，比较B_nS_n与A_n的大小；
②当n为偶数时，若|q|≠1，问是否存在常数λ（与n无关），使得等式（B_n-λ）S_n+A_n=0恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意知，由此可知，或a_n=2^n-1．
（2）由题设条件知数列{a_n²}，{（-1）ⁿ⁺¹a_n}均为等比数列，首项分别为a₁²，a₁，公比分别为q²，-q．
①当n为奇数时，当q=1时，B_nS_n=na₁²=A_n．当q=-1时，B_nS_n=na₁²=A_n．当q≠±1时，B_2k-1S_2k-1=A_2k-1．综上所述，当n为奇数时，B_nS_n=A_n．
②当n为偶数时，存在常数，使得等式（B_n-λ）S_n+A_n=0恒成立．由此入手能够推导出存在常数，使得等式（B_n-λ）S_n+A_n=0恒成立．
解答：解：（1）∵A₂=5，B₂=-1，
∴
∴或（2分）
∴，或a_n=2^n-1．（4分）
（2）∵=常数，
=常数，
∴数列{a_n²}，{（-1）ⁿ⁺¹a_n}均为等比数列，
首项分别为a₁²，a₁，公比分别为q²，-q．（6分）
①当n为奇数时，当q=1时，S_n=na₁，A_n=na₁²，B_n=a₁，
∴B_nS_n=na₁²=A_n．当q=-1时，S_n=a₁，A_n=na₁²，B_n=na₁，
∴B_nS_n=na₁²=A_n．（8分）
当q≠±1时，设n=2k-1（k∈N^*），，，，
∴B_2k-1S_2k-1=A_2k-1．综上所述，当n为奇数时，B_nS_n=A_n．（10分）
②当n为偶数时，存在常数，
使得等式（B_n-λ）S_n+A_n=0恒成立．（11分）
∵|q|≠1，∴，，．
∴（B_n-λ）S_n+A_n=
=
=
=．（14分）
由题设，对所有的偶数n恒成立，
又，∴．（16分）
∴存在常数，使得等式（B_n-λ）S_n+A_n=0恒成立．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．