题目内容

在平面直角坐标系xOy椭圆C的中心为原点焦点F1F2x轴上离心率为.F1的直线交椭圆CAB两点△ABF2的周长为8.过定点M(03)的直线l1与椭圆C交于GH两点(G在点MH之间)

(1)求椭圆C的方程;

(2)设直线l1的斜率k>0x轴上是否存在点P(m0)使得以PGPH为邻边的平行四边形为菱形?如果存在求出m的取值范围;如果不存在请说明理由.

 

(1) 1(2)

【解析】(1)设椭圆的方程为1(a>b>0)由离心率e,△ABF2的周长为|AF1||AF2||BF1||BF2|4a8a2c1b2a2c23.

所以椭圆C的方程为1.

(2)由题意可知直线l1的方程为ykx3(k>0)

(34k2)x224kx240,①

Δ(24k)24×24×(34k2)>0解得k>.

设椭圆的弦GH的中点为N(x0y0)x轴上是否存在点P(m0)使得以PGPH为邻边的平行四边形为菱形等价于x轴上是否存在点P(m0)使得PN⊥l1

G(x1y1)H(x2y2)由韦达定理x1x2=-

x0=-所以y0kx03

NkPN=-.

从而-·k=-1

解得m=-.

又因为m′(k)>0

所以函数m=-在定义域上单调递增mminm=-m∈.

故存在满足条件的点P(m0)m的取值范围为

 

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