题目内容
已知
为椭圆
：
的左、右焦点，过椭圆右焦点F2斜率为
（
）的直线
与椭圆
相交于
两点，
的周长为8，且椭圆C与圆
相切。
（1）求椭圆的方程；
（2）设
为椭圆的右顶点，直线
分别交直线
于点
，线段
的中点为
，记直线
的斜率为
，求证
为定值．
（1）
（2）
=
证明详见解析．
解析试题分析：（1）由的周长为8，可得4a=8，又由椭圆C与圆相切，可得b2=3，即可求得椭圆的方程为．
（2）设过点
的直线
方程为：
，设点
，点
，将直线方程代入椭圆
中，整理可得关于x的一元二次方程，该方程由两个不等的实数根，其判别式恒大于零，求出
，
的表达式，由点斜式分别写出直线AE，AF的方程，然后求出点M，N的坐标，在求出点P的坐标，由两点的斜率公式求出直线 的斜率，整理即可求得=．
（1）由题意得
3分
所求椭圆C的方程为． 4分
（2）设过点 的直线方程为：，
设点，点 5分
将直线方程代入椭圆
整理得：
6分
因为点
在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，
恒成立，
且
7分
直线
的方程为：
，直线
的方程为：
令
，得点
，
，
所以点的坐标
9分
直线 的斜率为
11分
将
代入上式得：
所以为定值
考点： 1．椭圆的方程和性质；2．直线的斜率公式；3．直线与曲线的位置关系．
练习册系列答案
相关题目
的两条对角线的交点为
，且
与
所在的直线方程分别为
．
所在的直线方程； 
是椭圆
上不关于坐标轴对称的两个点，直线
交
轴于点
（与点
的右焦点，线段
的中点在y轴上，求直线AB的方程； 
为
，直线
与椭圆
与点
关于
，求直线l的方程；
的中心为原点
，左、右焦点分别为
、
，离心率为
，点
是直线
上任意一点，点
在双曲线
上，且满足
.
的值；
与直线
的斜率之积是定值；
，过点
与双曲线右支交于不同的两点
、
，在线段
上去异于点
，满足
，证明点
与直线
平行，则实数
的值为 ．
的倾斜角大小为___ __（用反三角形式表示）.