题目内容

是椭圆上不关于坐标轴对称的两个点,直线轴于点(与点不重合),O为坐标原点.
(1)如果点是椭圆的右焦点,线段的中点在y轴上,求直线AB的方程;
(2)设轴上一点,且,直线与椭圆的另外一个交点为C,证明:点与点关于轴对称.

(1)直线(即)的方程为;(2)详见解析.

解析试题分析:(1)由已知条件推导出点的坐标为,由此能求出直线(即)的方程.(2)设点关于轴的对称点为(在椭圆上),要证点与点关于轴对称,只要证点与点C重合,又因为直线与椭圆的交点为C(与点不重合),所以只要证明点三点共线即可.
(1)椭圆的右焦点为,                                 1分
因为线段的中点在y轴上,              
所以点的横坐标为,                                
因为点在椭圆上,
代入椭圆的方程,得点的坐标为.              3分
所以直线(即)的方程为.     5分
(2)设点关于轴的对称点为(在椭圆上),
要证点与点关于轴对称,
只要证点与点C重合,.
又因为直线与椭圆的交点为C(与点不重合),
所以只要证明点三点共线.                                7分
以下给出证明:
由题意,设直线的方程为,,,则.

,                             9分
所以
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