题目内容
设是椭圆上不关于坐标轴对称的两个点,直线交轴于点(与点不重合),O为坐标原点.
(1)如果点是椭圆的右焦点,线段的中点在y轴上,求直线AB的方程;
(2)设为轴上一点,且,直线与椭圆的另外一个交点为C,证明:点与点关于轴对称.
(1)直线(即)的方程为或;(2)详见解析.
解析试题分析:(1)由已知条件推导出点的坐标为,由此能求出直线(即)的方程.(2)设点关于轴的对称点为(在椭圆上),要证点与点关于轴对称,只要证点与点C重合,又因为直线与椭圆的交点为C(与点不重合),所以只要证明点,,三点共线即可.
(1)椭圆的右焦点为, 1分
因为线段的中点在y轴上,
所以点的横坐标为,
因为点在椭圆上,
将代入椭圆的方程,得点的坐标为. 3分
所以直线(即)的方程为或. 5分
(2)设点关于轴的对称点为(在椭圆上),
要证点与点关于轴对称,
只要证点与点C重合,.
又因为直线与椭圆的交点为C(与点不重合),
所以只要证明点,,三点共线. 7分
以下给出证明:
由题意,设直线的方程为,,,则.
由
得 , 9分
所以 ,
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