Question

9、已知函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，a、b∈R，对命题：“若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）”．写出逆命题、逆否命题，判断真假，并证明你的结论．

Answer 1

分析：本题考察的知识点是四种间的逆否关系及四种命题，由已知函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，我们可以先判断原命题的真假，然后根据互为逆否命题的真假性相同，我们也可以得到其逆否命题真假；然后再证明其否命题的真假，再根据其否命题与其逆命题也互为逆否命题，真假性也相同，即可得到其逆命题的真假．

解答：解：先证原命题：
“若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）”为真．
a+b≥0?a≥-b，b≥-a
?f（a）≥f（-b），f（b）≥f（-a）
?f（a）+f（b）≥f（-b）+f（-a）．
故其逆否命题：“若f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），则a+b＜0”也为真．
再证否命题“若a+b＜0，则f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）”为真．
a+b＜0?a＜-b，b＜-a
?f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a）
?f（a）+f（b）＜f（-b）+f（-a）．
故其逆命题：“若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），则a+b≥0”也为真．

点评：已知原命题，写出它的其他三种命题，首先把原命题改写成“若p，则q”的形式，然后找出其条件p和结论q，再根据四种命题的定义写出其他命题．逆命题：“若q，则p”；否命题：“若?p，则?q”；逆否命题：“若?q，则?p”，对写出的命题也可简洁表述；对于含有大前提的命题，在改写命题形式时，大前提不要动．