Question

13．设P为椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$上的点，F₁，F₂为其左、右焦点，且△PF₁F₂的面积为6，则$\overrightarrow{P{F_2}}•\overrightarrow{P{F_1}}$=5．

Answer 1

分析 首先利用椭圆的方程求出a、b、c的值，进一步利用三角形的面积求出P的坐标，最后利用向量数量积的运算求出结果．

解答 解：设P（x，y）为椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$上的点，F₁，F₂为其左、右焦点，
则：2a=8，2b=6，2c=2$\sqrt{7}$，
进一步求得：${F}_{1}（-\sqrt{7}，0）$，${F}_{2}（\sqrt{7}，0）$，
由于△PF₁F₂的面积为6，
所以：${S}_{{△PF}_{1}{F}_{2}}=\frac{1}{2}2c•\left|y\right|=6$，
解得：|y|=$\frac{6\sqrt{7}}{7}$
由于由于椭圆的对称性，
故当P在第一象限时，点P的纵坐标为：$\frac{6\sqrt{7}}{7}$，
所以把点P的纵标代入椭圆的方程得到：点P的横坐标为$\frac{4\sqrt{21}}{7}$，
即：P（$\frac{4\sqrt{21}}{7}$，$\frac{6\sqrt{7}}{7}$）．
所以：$\overrightarrow{{PF}_{1}}=（-\sqrt{7}-\frac{4\sqrt{21}}{7}，-\frac{6\sqrt{7}}{7}）$，$\overrightarrow{{PF}_{2}}=（\sqrt{7}-\frac{4\sqrt{21}}{7}，-\frac{6\sqrt{7}}{7}）$
则：$\overrightarrow{{PF}_{1}}•\overrightarrow{{PF}_{2}}$=5．
故答案为：5．

点评 本题考查的知识要点：三角形的面积与椭圆中a、b、c的关系，向量的坐标运算，主要考查学生的应用能力．