题目内容

已知O为坐标原点,
OA
=(2cos2x,1)
OB
=(1,
3
sin2x+a)
(x∈R,a∈R,a是常数),若y=
OA
OB
且y=f(x)的最大值为2.
(1)求a的值
(2)求f(x)图象的对称轴方程.
分析:(1)依题意,可求y=
OA
OB
=2sin(2x+
π
6
)+a+1,由ymax=2即可求得a;
(2)由a=-1可知f(x)=2sin(2x+
π
6
),利用正弦型函数的性质即可求其对称轴方程.
解答:解:(1)∵y=
OA
OB

=2cos2x+
3
sin2x+a
=1+cos2x+
3
sin2x+a
=2sin(2x+
π
6
)+a+1,
∴ymax=2+a+1,
又y=f(x)的最大值为2,
∴a+1=0,
∴a=-1.
(2)∵a=-1,
∴f(x)=2sin(2x+
π
6
),
由2x+
π
6
=kπ+
π
2
(k∈Z),
∴x=
2
+
π
6
(k∈Z),
∴f(x)图象的对称轴方程为x=
2
+
π
6
(k∈Z).
点评:本题考查数量积的坐标运算,考查三角函数中的恒等变换应用,求得f(x)=2sin(2x+
π
6
)是关键,考查运算与转化能力,属于中档题.
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