题目内容

(2013•东坡区一模)我校开设甲、乙、丙三门选修课,学生是否选修哪门课互不影响,已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为0.08,选修甲和乙而不选修丙的概率为0.12,至少选修一门的概率为0.88,用ξ表示该学生选修课程门数和没选修门数的乘积.
(1)记“ξ=0”为事件A,求事件A的概率;
(2)求ξ的分布列与数学期望.
分析:(1)设该生选修甲,乙,丙课程的概率依次为P1,P2,P3,则由题意知
p1(1-p2)(1-p3)=0.08
p1p2(1-p3)=0.12
1-(1-p1)(1-p2)(1-p3)=0.88
,由此能求出事件A的概率.
(2)ξ=2的意义为选一门或选两门.由事件的互斥性和独立性能求出P(ξ=2)=0.76,由此能求出随机变量ξ的分布列和Eξ.
解答:解:(1)设该生选修甲,乙,丙课程的概率依次为P1,P2,P3
则由题意知
p1(1-p2)(1-p3)=0.08
p1p2(1-p3)=0.12
1-(1-p1)(1-p2)(1-p3)=0.88

解得p1=0.4,p2=0.6,p3=0.5,…(4分)
由题意可设ξ可能取的值为0,2,
ξ=0的意义为选三门或一门都不选.
因此P(ξ=0)=0.4×0.6×0.5+(1-0.4)(1-0.6)(1-0.5)=0.24.
故事件A的概率为0.24.…(6分)
(2)ξ=2的意义为选一门或选两门.
由事件的互斥性和独立性可知
P(ξ=2)=0.4×0.4×0.5+0.6×0.6×0.5+0.6×0.4×0.5+0.4×0.6×0.5+0.4×0.4×0.5+0.6×0.6×0.5=0.76.…(9分)
结合(1)(2)可知随机变量ξ的分布列为
ξ 0 2
P 0.24 0.76
…(11分)
由此可得,所求数学期望为:Eξ=0×0.24+2×0.76=1.52.…(12分)
点评:本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望,解题时要认真审题,仔细解答,注意等价转化思想的合理运用.
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