Question

（2013•东坡区一模）三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，
（1）证明：平面PAB⊥平面PBC；
（2）若PA=

6

，PC与侧面APB所成角的余弦值为

2 2

3

，PB与底面ABC成60°角，求二面角B-PC-A的大小．

Answer 1

分析：（1）由PA⊥面ABC，知PA⊥BC，由AB⊥BC，且PA∩AB=A，知BC⊥面PAB，由此能够证明面PAB⊥面PBC．
（2）法一：过A作AE⊥PB于E，过E作EF⊥PC于F，连接AF，得到∠EFA为B-PC-A的二面角的平面角．由此能求出二面角B-PC-A的大小．
法二：由AB=

2

，BC=1，以BA为x轴，BC为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-PC-A的大小．

解答：（1）证明：∵PA⊥面ABC，∴PA⊥BC，
∵AB⊥BC，且PA∩AB=A，
∴BC⊥面PAB
而BC?面PBC中，∴面PAB⊥面PBC．…（5分）
（2）解法一：过A作AE⊥PB于E，过E作EF⊥PC于F，连接AF，如图所示
则∠EFA为B-PC-A的二面角的平面角  …（8分）
由PA=

6

，在Rt△PBC中，cos∠COB=

2

3

2

．
Rt△PAB中，∠PBA=60°．
∴AB=

2

，PB=2

2

，PC=3
∴AE=

PA•AB

PB

=

6

2

同理：AF=

2

    …（10分）
∴sin∠EFA=

3

2

，…（11分）
∴∠EFA=60．…（12分）
解法二：向量法：由题可知：AB=

2

，BC=1，
建立如图所示的空间直角坐标系…（7分）
B（0，0，0），C（1，0，0），A（0，

2

，0），P（0，

2

，

6

），
假设平面BPC的法向量为

n

=（x₁，y₁，z₁），
∴

n • BC =x1=0 n • BP = 2 y1+ 6 z1=0

取z₁=

6

可得平面BPC的法向量为

n

=（0，-3

2

，

6

）…（9分）
同理PCA的法向量为

m

=（2，-

2

，0）…（11分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

2

，∴所求的角为60°．…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．