题目内容

(2013•东坡区一模)已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-1,且a∈(0,3),则对于任意的b∈R,函数F(x)=f(x)-x总有两个不同的零点的概率是
1
3
1
3
分析:由于基本事件的区间(0,3)的区间长度为3,而事件F(x)=ax2+(b+1)x+b-1-x=ax2+bx+b-1,总有两个不同的零点,即△=b2-4ab+4a=(b-2a)2+4a-4a2>0恒成立,从而可求a的范围,代入几何概率的求解公式可求
解答:解:∵F(x)=ax2+(b+1)x+b-1-x=ax2+bx+b-1,
函数F(x)总有两个不同的零点,
所以△=b2-4ab+4a>0恒成立
令f(b)=b2-4ab+4a>0
只需要△=16a2-16a<0
∴0<a<1.
所以,由几何概率的公式可得,所求的概率P=
1-0
3-0
=
1
3

故答案为
1
3
点评:本题主要考查了与区间长度有关的几何概率的求解,解题的关键是由函数的零点的存在求解参数a的范围,属于几何概率与函数知识的综合应用.
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