Question

（2013•东坡区一模）若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x） 是一个“λ-伴随函数”．有下列关于“λ-伴随函数”的结论：
①f（x）=0 是常数函数中唯一个“λ-伴随函数”；
②f（x）=x不是“λ-伴随函数”；
③f（x）=x²是一个“λ-伴随函数”； 
④“

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2

-伴随函数”至少有一个零点．
其中不正确的序号是

①③

（填上所有不正确的结论序号）．

Answer 1

分析：①设f（x）=C是一个“λ-伴随函数”，则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ-伴随函数”；
②根据f（x）=x，可得f（x+λ）+λf（x）=x+λ+λx，故不存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立；
③用反证法，假设f（x）=x²是一个“λ-伴随函数”，则（x+λ）²+λx²=0，从而有λ+1=2λ=λ²=0，此式无解；
④令x=0，可得f（

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）=-

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f（0），若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（

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）•f（0）=-

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（f（0））²＜0，由此可得结论．

解答：解：①设f（x）=C是一个“λ-伴随函数”，则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ-伴随函数”，故①不正确；
②∵f（x）=x，∴f（x+λ）+λf（x）=x+λ+λx，当λ=-1时，f（x+λ）+λf（x）=-1≠0；λ≠-1时，f（x+λ）+λf（x）=0有唯一解，∴不存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，∴（x）=x不是“λ-伴随函数”，故②正确；
③用反证法，假设f（x）=x²是一个“λ-伴随函数”，则（x+λ）²+λx²=0，即（1+λ）x²+2λx+λ²=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式无解，所以f（x）=x²不是一个“λ-伴随函数”，故③不正确；
④令x=0，得f（

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）+

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f（0）=0，所以f（

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）=-

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f（0）
若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（

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）•f（0）=-

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2

（f（0））²＜0．
又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，

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2

）上必有实数根．因此任意的“

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2

-伴随函数”必有根，即任意“

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2

-伴随函数”至少有一个零点，故④正确
故答案为：①③

点评：本题考查的知识点是函数的概念及构成要素，函数的零点，正确理解f（x）是λ-伴随函数的定义，是解答本题的关键．