Question

已知双曲线C的中心在坐标原点O，对称轴为坐标轴，点（-2，0）是它的一个焦点，并且离心率为．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知点M（0，1），设P（x，y）是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），依据题意，求出a、c、b的值，最后写出双曲线的标准方程和渐近线方程．
（Ⅱ）依题意有：Q（-x，-y），根据向量的坐标运算写出，从而=-x²-y²+1再结合双曲线的范围得出x²≥3，从而求得的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），半焦距c，
依题意得 解得a=，b=1，
∴所求双曲线C的方程为．
（Ⅱ）依题意有：Q（-x，-y），∴，

∴=-x²-y²+1
，又，=，由可得，x²≥3，
=≤-2故的取值范围x≤-2．
点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．解答的关键是对双曲线标准方程的理解和向量运算的应用．