Question

在△ABC中，D是BC边上任意一点（D与B，C不重合），且|AB|²=|AD|²+|BD|•|DC|，则△ABC一定是

1. A.
   直角三角形
2. B.
   等边三角形
3. C.
   等腰三角形
4. D.
   等腰直角三角形

Answer 1

C
分析：过A作AO垂直于BC，以BC所在的直线为x轴，AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，设出A（0，a），B（b，0），C（c，0），d（d，0），利用两点间的距离公式表示出|AB|，|AD|，|BD|，|DC|，代入已知的等式中，整理后根据D与B不重合得到d不等于b，在等式两边同时除以d-b，得到b+c=0，即b=-c，可得出B与C关于y轴对称，可得出AB=AC，即三角形ABC为等腰三角形．
解答：根据题意画出相应的图形，如图所示：

过A作AO⊥BC，交BC于点O，以BC所在的直线为x轴，AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，
设A（0，a），B（b，0），C（c，0），D（d，0），
∵|AB|²=|AD|²+|BD|•|DC|，
∴a²+b²=a²+d²+（d-b）（c-d），即d²-b²+（d-b）（c-d）=0，
∴（d+b）（d-b）+（d-b）（c-d）=0，即（d-b）（b+c）=0，
∵D与B不重合，∴d≠b，即d-b≠0，
∴b+c=0，即b=-c，
∴B与C关于y轴对称，
∴AB=AC，
则△ABC为等腰三角形．
故选C
点评：此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：两点间的距离公式，对称的性质，以及等腰三角形的判定，利用了数形结合的思想，解题的关键是根据题意建立适当的坐标系，设出各点的坐标，然后利用解析式进行判断．