Question

19．过点$M（{1，2\sqrt{2}}）$作直线交抛物线x²=2py（p＞0）于A、B且M为A、B中点，过A、B分别作抛物线切线，两切线交于点N，若N在直线y=-2p上，则p=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由抛物线x²=2py（p＞0），得y′=$\frac{x}{p}$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），过点A的切线方程为x₁x=p（y+y₁），过点B的切线方程为x₂x=p（y+y₂），由已知得点A，B在直线xx₀=p（y₀+y）上，由此能求出p的值．

解答 解：由抛物线x²=2py（p＞0），得y′=$\frac{x}{p}$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴过点A的切线方程为：y-y₁=$\frac{{x}_{1}}{p}（x-{x}_{1}）$，即x₁x=p（y+y₁），
同理求得过点B的切线方程为：x₂x=p（y+y₂），
设N（x₀，y₀），∵过A、B分别作抛物线切线，两切线交于点N，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{x}_{0}=p（{y}_{0}+{y}_{1}）}\\{{x}_{2}{x}_{0}=p（{y}_{0}+{y}_{2}）}\end{array}\right.$，
∴点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在直线xx₀=p（y₀+y）上，
∵直线AB过定点M（1，2$\sqrt{2}$），∴${x}_{0}=p（2\sqrt{2}+{y}_{0}）$，
∵N在直线y=-2p上，∴N（0，-2$\sqrt{2}$），
∴p=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查抛物线中参数p的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数的几何意义的合理运用．