Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且对任意正整数n，点（a_n+1，S_n）在直线2x+y-2=0上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在实数λ，使得数列{Sn+λn+

λ

2n

}为等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，则说明理由；
（3）设{b_n}满足：bn=

2-n

(an+1)(an+1+1)

，Tn为数列{b_n}的前n项和，求证：Tn≥

1

6

．

Answer 1

分析：（1）将点的坐标代入直线方程得到数列的项与和的递推关系，仿写一个等式，两式相减，得到一等比数列，利用等比数列的通项公式求出数列{a_n}的通项公式．
（2）求出数列的第n项减去数列的第n-1项，为使此差为常数，令2-λ=0，求出λ的值．
（3）求出通项b_n，据通项的特点，利用裂项相消法求出数列的前n项和T_n，利用其单调性，求出其最小值，得到要证的不等式．

解答：解：（1）∵点（a_n+1，S_n）在直线2x+y-2=0上
∴2a_n+1+S_n-2=0即S_n=2-2a_n+1
∴当n≥2时S_n-1=2-2a_n相减得
a_n=2a_n+1又a1=1，a2=

1

2

∴an=(

1

2

)n-1
（2）假设存在实数λ符合题意，则(Sn+λn+

λ

2n

)-[Sn+λ(n-1)+

λ

2n-1

]必为与n无关的常数
要使上式与n无关，则2-λ=0得λ=2
故存在实数λ=2，使数列{Sn+λn+

λ

2n

}为等差数列
（3）∵bn=

2-n

(an+1)(an+1+1)

=

2-n

[( 1 2 )n-1+1][( 1 2 )n+1]

=

1

( 1 2 )n+1

-

1

( 1 2 )n-1+ 1

∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

1 2 +1

+

1

( 1 2 )0

+…+

1

( 1 2 )n+1

-

1

( 1 2 )n-1+ 1

=

1

( 1 2 )n+1

-

1

2

易得Tn=

1

( 1 2 )n+1

-

1

2

是关于正整数n的增函数
故T_n的最小值为T1=

2

3

-

1

2

=

1

6

即对一切n∈N^*，都有Tn≥

1

6

点评：在已知数列的项与和的递推关系求数列的通项时，常采用的方法是仿写相减得到项与项的递推关系，再求通项．