题目内容
已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形.∠BCD=60°,AB=PB=PD=2,
(Ⅰ)求证:PC∥平面BDE;
(Ⅱ)求证:PH⊥平面ABCD;
(Ⅲ)求直线CE与平面PAB所成角的正弦值.

【答案】分析:(Ⅰ)因为E,O分别为PA,AC的中点,所以EO∥PC.由此能够证明PC∥平面BDE.
(Ⅱ)连接OP,因为PB=PD,所以OP⊥BD.在菱形ABCD中,BD⊥AC,又因为OP∩AC=O,所以BD⊥平面PAC.又PH?平面PAC,所以BD⊥PH.由此能够证明PH⊥平面ABCD.
(Ⅲ)过点O作OZ∥PH,所以OZ⊥平面ABCD.以O为原点,OA,OB,OZ所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.得
,
,
.设
=(x,y,z)是平面PAB的一个法向量,由
,得
.由此能求出直线CE与平面PAB所成角的正弦值.
解答:(Ⅰ)证明:因为E,O分别为PA,AC的中点,
所以EO∥PC
又EO?平面BDE,PC?平面BDE.
所以PC∥平面BDE.
(Ⅱ)证明:连接OP,
因为PB=PD,
所以OP⊥BD.
在菱形ABCD中,BD⊥AC,
又因为OP∩AC=O,所以BD⊥平面PAC.
又PH?平面PAC,所以BD⊥PH.
在直角三角形POB中,OB=1,PB=2,所以
.
又
,H为OC的中点,所以PH⊥OC.
又因为BD∩OC=O
所以PH⊥平面ABCD.
(Ⅲ)解:过点O作OZ∥PH,所以OZ⊥平面ABCD.
如图,
以O为原点,OA,OB,OZ所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.
可得,
,B(0,1,0),
,
,
.
所以
,
,
.
设
=(x,y,z)是平面PAB的一个法向量,
则
,即
,
令x=1,则
..
设直线CE与平面PAB所成的角为θ,
.
所以直线CE与平面PAB所成角的正弦值为
.
点评:本题考查直线和平面平行、直线和平面垂直的证明方法和求直线与平面在所成角的正弦值.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
(Ⅱ)连接OP,因为PB=PD,所以OP⊥BD.在菱形ABCD中,BD⊥AC,又因为OP∩AC=O,所以BD⊥平面PAC.又PH?平面PAC,所以BD⊥PH.由此能够证明PH⊥平面ABCD.
(Ⅲ)过点O作OZ∥PH,所以OZ⊥平面ABCD.以O为原点,OA,OB,OZ所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.得






解答:(Ⅰ)证明:因为E,O分别为PA,AC的中点,
所以EO∥PC

又EO?平面BDE,PC?平面BDE.
所以PC∥平面BDE.
(Ⅱ)证明:连接OP,
因为PB=PD,
所以OP⊥BD.
在菱形ABCD中,BD⊥AC,
又因为OP∩AC=O,所以BD⊥平面PAC.
又PH?平面PAC,所以BD⊥PH.
在直角三角形POB中,OB=1,PB=2,所以

又

又因为BD∩OC=O
所以PH⊥平面ABCD.
(Ⅲ)解:过点O作OZ∥PH,所以OZ⊥平面ABCD.
如图,

可得,




所以



设

则


令x=1,则

设直线CE与平面PAB所成的角为θ,

所以直线CE与平面PAB所成角的正弦值为

点评:本题考查直线和平面平行、直线和平面垂直的证明方法和求直线与平面在所成角的正弦值.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.

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