题目内容

【题目】已知椭圆 的焦距为 ,且过点 ,设 上的两个动点,线段 的中点 的横坐标为 ,线段 的中垂线交椭圆 两点.

(1)求椭圆 的方程;

(2)设点纵坐标为m,求直线的方程,并求出 的取值范围.

【答案】(1);(2).

【解析】

(1)根据题意得到,.所以,于是 进而得到方程;(2)分情况讨论,当直线 垂直于 轴时,直线 方程为 ,此时 ,得 当直线 不垂直于 轴时,设直线 的斜率为 ,由线段 的中点 的横坐标为 ,得 得到直线 斜率为 联立直线和椭圆得二次方程,,根据点在椭圆内得到进而求得结果.

(1) 因为椭圆 的焦距为 ,且过点K ,所以,.所以,于是 ,所以椭圆 的方程为

(2) 由题意,当直线 垂直于 轴时,直线 方程为 ,此时 ,得 .当直线 不垂直于 轴时,设直线 的斜率为 ,由线段 的中点 的横坐标为 ,得

,故 .此时,直线 斜率为 的直线方程为 ,即

联立 消去 ,整理得

,所以,于是

由于 在椭圆的内部,故

所以

综上, 的取值范围为

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