题目内容

14.已知函数f(x)=(x-1)2+1,(t≤x≤t+1,t为实数),求f(x)的最小值.

分析 函数f(x)=(x-1)2+1的图象是开口朝上,且以直线x=1为对称轴的抛物线,分类讨论给定区间与对称轴的关系,进而分析函数的单调性,可得函数的最小值.

解答 解:函数f(x)=(x-1)2+1的图象是开口朝上,且以直线x=1为对称轴的抛物线,
当t+1<1,即t<0时,函数f(x)在[t,t+1]上为减函数,则f(x)的最小值f(t+1)=t2+1;
当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,函数f(x)在[t,1]上为减函数,在[1,t+1]上为增函数,则f(x)的最小值f(1)=1;
当t>1时,函数f(x)在[t,t+1]上为增函数,则f(x)的最小值f(t)=(t-1)2+1;

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质,是解答的关键,难度中档.

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