Question

已知f（x）=ax²+2bx+4c（a，b，c∈R）
（1）若a+c=0，f（x）在[-2，2]上的最大值为

2

3

，最小值为-

1

2

，求证：|

b

a

|≤2
（2）当b=4，c=

3

4

时，对于给定的负数a，有一个最大的正数m（a），使得x∈[0，m（a）]时都有|f（x）|≤5，问a为何值时，m（a）最大，并求这个最大值m（a），证明你的结论．
（3）若f（x）同时满足下列条件：①a＞0；②当|x|≤2时，有|f（x）|≤2；③当|x|≤1时，f（x）最大值为2，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）利用反证法证明，若a等于0，得到c也等于0，所以f（x）等于2bx，得到f（2）与f（-2）互为相反数，不合题意；若a不为0，由a+c=0，解得c=-a，代入f（x）中，求出二次函数的对称轴，假设对称轴小于-2或大于2，即可得到对称轴在区间的左外侧或右外侧，得到f（x）为单调函数，函数的最值在x=2，-2取到，把2和-2代入得到最值互为相反数，不合题意，所以假设错误，综上，得证；
（2）把b与c的值代入f（x）中，配方得到顶点式，由a小于0，得到函数有最大值，表示出这个最大值，当最大值大于5时，求出此时a的范围，又最大值小于-

4

a

，M（a）是方程ax²+8x+3=5的较小根，利用求根公式求出M（a）即可判断出M（a）小于

1

2

；当最大值小于等于5时，求出此时a的范围，最大值大于-

4

a

，M（a）是方程ax²+8x+3=-5的较大根，根据求根公式求出M（a）即可判断M（a）小于等于

5 +1

2

，又

5 +1

2

大于

1

2

，即可得到M（a）的最大值；
（3）求出f（x）的导函数，由a大于0，求出函数有最大值让其等于2，得到a与b的关系式，由-2≤f（0）=4a=4a+4b+4c-4（a+b）=f（2）-4≤2-4=-2，得c的值，又因为|f（x）|≤2，所以f（x）≥-2=f（0），即可得到x=0时，函数取得最小值，表示出对称轴让其等于0，即可求得b的值，进而求出a的值，把a，b和c的值代入即可确定出f（x）的解析式．

解答：解：（1）若a=0，则c=0，f（x）=2bx，f（2）=4b，f（-2）=-4b，不合题意；
若a≠0时，由a+c=0，得f（x）=ax²+2bx-4a，
对称轴为x=-

b

a

，假设

b

a

∈（-∞，-2）∪（2，+∞），
区间[-2，2]在对称轴的左外侧或右外侧，所以f（x）在[-2，2]上是单调函数，
则f（x）的最值必在x=2，x=-2处取到，
f（2）=4b，f（-2）=-4b，f（2）+f（-2）=0≠

2

3

+（-

1

2

）=

1

6

，
所以假设错误，则|

b

a

|≤2，
综上，得到|

b

a

|≤2；
（2）

把b=4，c=

3

4

代入得：f（x）=ax²+8x+3=a(x+

4

a

)2+3-

16

a

，
∵a＜0，所以f（x）_max=3-

16

a

①当3-

16

a

＞5，即-8＜a＜0时，
M（a）满足：-8＜a＜0且0＜M（a）＜-

4

a

，
所以M（a）是方程ax²+8x+3=5的较小根，
则M（a）=

-8+ 64-32a

2a

=

2

16+2a +4

＜

2

4

=

1

2

；
②当3-

16

a

≤5即a≤-8时，此时M（a）≥-

4

a

，
所以M（a）是ax²+8x+3=-5的较大根，
则M（a）=

-8- 64-32a

2a

=

4

4-2a -2

≤

4

20 -2

=

5 +1

2

，
当且经当a=-8时取等号，
由于

5 +1

2

＞

1

2

，因此当且经当a=-8时，M（a）取最大值

5 +1

2

；
（3）求得f′（x）=2ax+2b，
∵a＞0，∴f（x）_max=2a+2b=2，即a+b=1，
则-2≤f（0）=4a=4a+4b+4c-4（a+b）=f（2）-4≤2-4=-2，
∴4c=-2，解得c=-

1

2

，
又∵|f（x）|≤2，所以f（x）≥-2=f（0）
∴f（x）在x=0处取得最小值，且0∈（-2，2），
∴-

2b

2a

=0，解得b=0，从而a=1，
∴f（x）=x²-2．

点评：此题考查学生会利用反证法进行证明，考查了数形结合的数学思想，会求二次函数在闭区间上的最值，掌握二次函数的图象与性质，是一道综合题．