题目内容
【题目】已知等边三角形
的边长为4，四边形
为正方形，平面
平面
， 
， 
， 
， 
分别是线段
， 
， 
， 
上的点.
（Ⅰ）如图①，若
为线段
的中点， 
，证明： 
平面
；
（Ⅱ）如图②，若
， 
分别为线段
， 
的中点， 
， 
，求二面角
的余弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 
.
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据中位线定理及平行四边形性质可得
试题解析：
（Ⅰ）证明：取
的中点
，连接
， 
，则
易知
为
的中位线， 
，
平面
， 
平面
，
平面
，易知四边形
为平行四边形，
， 
平面
， 
平面
， 
平面
.
， 
， 
平面
， 
平面
平面
，
又
平面
， 
平面
.
（Ⅱ）连接
，则
，
平面
平面
，平面
平面
， 
平面
，
平面
，分别以
， 
， 
所在直线为
轴， 
轴， 
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
， 
， 
， 
， 
，
则
， 
， 
，
设平面
的法向量为
，则
， 
， 
，
取
，得
，故
，
设平面
的法向量为
，则
， 
，
，取
，得
，故
，
.
易知二面角
为钝二面角，故二面角
的余弦值为
.
【题目】近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展，国内企业的国际竞争力得到大幅提升．伴随着国内市场增速放缓，国内有实力企业纷纷进行海外布局，第二轮企业出海潮到来．如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外共设30多个分支机构，需要国内公司外派大量70后、80后中青年员工．该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方式从70后和80后的员工中随机调查了100位，得到数据如下表：
愿意被外派 | 不愿意被外派 | 合计 | |
70后 | 20 | 20 | 40 |
80后 | 40 | 20 | 60 |
合计 | 60 | 40 | 100 |
（Ⅰ）根据调查的数据，是否有90%以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，并说明理由；
（Ⅱ）该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，拟安排4名参与调查的70后员工参加．70后员工中有愿意被外派的3人和不愿意被外派的3人报名参加，现采用随机抽样方法从报名的员工中选4人，求选到愿意被外派人数不少于不愿意被外派人数的概率．
参考数据：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
（参考公式： 
，其中
）
