Question

若圆x²+y²-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2

2

．则直线l的倾斜角的取值范围是

[

π

12

，

5π

12

]

．

Answer 1

分析：求出圆心为C（2，2）、半径r=3

2

，根据圆的性质可得：当圆上至少有三个不同的点到直线l的距离为2

2

时，圆心到直线的距离应小于或等于

2

，由此利用点到直线的距离公式和直线的斜率公式加以计算，即可得到直线l的倾斜角的取值范围．

解答：解：圆x²+y²-4x-4y-10=0化简为标准方程，可得（x-2）²+（y-2）²=18，
∴圆心坐标为C（2，2），半径r=3

2

，
∵在圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为2

2

，
∴圆心到直线的距离应小于或等于r-2

2

=

2

，
由点到直线的距离公式，得

|2a+2b|

a2+b2

≤

2

，
∴（2a+2b）²≤2（a²+b²），整理得(-

a

b

)2-4(-

a

b

)+1≤0，
解之得2-

3

≤-

b

a

≤2+

3

，
∵直线l：ax+by=0的斜率k=-

b

a

∈[2-

3

，2+

3

]
∴设直线l的倾斜角为α，则tanα∈[2-

3

，2+

3

]，即tan

π

12

≤tanα≤tan

5π

12

．
由此可得直线l的倾斜角的取值范围是[

π

12

，

5π

12

]．
故答案为：[

π

12

，

5π

12

]

点评：本题考查了直线和圆的位置关系、直线与圆相交的性质，要求熟练掌握并灵活运用点到直线的距离公式，以及直线倾斜角与斜率的关系等知识，属于中档题．