Question

若圆x²+y²-4x-5=0与圆x²+y²-2x-4y-4=0交点为A，B，求：
（1）线段AB的垂直平分线方程．
（2）线段AB所在的直线方程．
（3）求AB的长．

Answer 1

分析：（1）线段AB的垂直平分线经过两圆的圆心，将圆的方程化为标准方程，求得圆心坐标，即可得到线段AB的垂直平分线方程；
（2）两圆相减，即可得到线段AB所在的直线方程；
（3）先求圆心到直线的距离，再求圆中弦AB的长．

解答：解：（1））线段AB的垂直平分线经过两圆的圆心
∵圆x²+y²-4x-5=0可化为：（x-2）²+y²=9，圆x²+y²-2x-4y-4=0可化为：（x-1）²+（y-2）²=1
∴两圆的圆心分别为（2，0），（1，2）
∴线段AB的垂直平分线方程为

y-0

2-0

=

x-2

1-2

，即2x+y-4=0
（2）∵圆x²+y²-4x-5=0与圆x²+y²-2x-4y-4=0交点为A，B，
∴联立方程，组成方程组可得

x2+y2-4x-5=0          ① x2+y2-2x-4y-4=0     ②

①-②得：-2x+4y-1=0
即线段AB所在的直线方程为2x-4y+1=0．
（3）圆（x-2）²+y²=9的圆心坐标为（2，0），半径为3，
∵（2，0）到直线2x-4y+1=0的距离为d=

|4-0+1|

4+16

=

5

2

．
∴|AB|=2

32-( 5 2 )2

=

31

点评：本题以两圆相交为载体，考查两圆公共弦的方程，考查两圆公共弦的垂直平分线的方程，考查圆中的弦长，有一定的综合性．