题目内容
已知a，b，c∈R，且三次方程f（x）=x3-ax2+bx-c=0有三个实根x1，x2，x3．
（1）类比一元二次方程根与系数的关系，写出此方程根与系数的关系；
（2）若a∈Z，b∈Z且|b|＜2，f（x）在x=α，x=β处取得极值且-1＜α＜0＜β＜1，试求此方程三个根两两不等时c的取值范围．
（1）类比一元二次方程根与系数的关系，写出此方程根与系数的关系；
（2）若a∈Z，b∈Z且|b|＜2，f（x）在x=α，x=β处取得极值且-1＜α＜0＜β＜1，试求此方程三个根两两不等时c的取值范围．
分析：（1）由已知，x3+ax2-bx+c=（x-x1）（x-x2）（x-x3），比较两边系数，即得结果；
（2）由已知f′（x）=3x2-2ax+b=0有两个不等的实根α，β，因为-1＜α＜0＜β＜1，根据实根分布，列出关于c的不等关系，解之得此方程三个根两两不等时c的取值范围．
（2）由已知f′（x）=3x2-2ax+b=0有两个不等的实根α，β，因为-1＜α＜0＜β＜1，根据实根分布，列出关于c的不等关系，解之得此方程三个根两两不等时c的取值范围．
解答：解：（1）由已知，得x3-ax2+bx-c=（x-x1）（x-x2）（x-x3），比较两边系数，
得a=x1+x2+x3，b=x1x2+x2x3+x3x1，c=x1x2x3． …（4分）
（2）令f（x）=x3-ax2+bx-c，要f（x）=0有三个不等的实数根，则函数f（x）有一个极大值和一个极小值，且极大值大于0，极小值小于0． …（5分）
由已知，得f′（x）=3x2-2ax+b=0有两个不等的实根α，β，
∵-1＜α＜0＜β＜1，
∴
得-3＜b＜0．…（6分）
又|b|＜2，b∈Z，∴b=-1，将b=-1代入（1）（3），有-1＜a＜1，又a∈Z，∴a=0．
∴f（x）=x3-x-c，f′（x）=3x2-1，…（8分）
则α=-
，β=
，且f（x）在x=-
处取得极大值，在x=
处取得极小值…（10分）
故f（x）=0要有三个不等的实数根，
则必须
…（12分）
⇒
，
解得-
＜c＜
． …（14分）
得a=x1+x2+x3，b=x1x2+x2x3+x3x1，c=x1x2x3． …（4分）
（2）令f（x）=x3-ax2+bx-c，要f（x）=0有三个不等的实数根，则函数f（x）有一个极大值和一个极小值，且极大值大于0，极小值小于0． …（5分）
由已知，得f′（x）=3x2-2ax+b=0有两个不等的实根α，β，
∵-1＜α＜0＜β＜1，
∴
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又|b|＜2，b∈Z，∴b=-1，将b=-1代入（1）（3），有-1＜a＜1，又a∈Z，∴a=0．
∴f（x）=x3-x-c，f′（x）=3x2-1，…（8分）
则α=-
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故f（x）=0要有三个不等的实数根，
则必须
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⇒
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解得-
2
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2
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点评：本小题主要考查类比推理、函数在某点取得极值的条件、一元二次方程的根的分布与系数的关系、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．
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