题目内容
【题目】函数f(x)=x3﹣3x﹣1,若对于区间[﹣3,2]上的任意x1 , x2都有|f(x1)﹣f(x2)|≤t,则实数t的最小值是( )
A.20
B.18
C.3
D.0
【答案】A
【解析】解:对于区间[﹣3,2]上的任意x1,x2都有|f(x1)﹣f(x2)|≤t,等价于对于区间[﹣3,2]上的任意x,都有f(x)max﹣f(x)min≤t,
∵f(x)=x3﹣3x﹣1,∴f′(x)=3x2﹣3=3(x﹣1)(x+1),
∵x∈[﹣3,2],
∴函数在[﹣3,﹣1]、[1,2]上单调递增,在[﹣1,1]上单调递减
∴f(x)max=f(2)=f(﹣1)=1,f(x)min=f(﹣3)=﹣19
∴f(x)max﹣f(x)min=20,
∴t≥20
∴实数t的最小值是20,
故选A.
对于区间[﹣3,2]上的任意x1,x2都有|f(x1)﹣f(x2)|≤t,等价于对于区间[﹣3,2]上的任意x,都有f(x)max﹣f(x)min≤t,利用导数确定函数的单调性,求最值,即可得出结论.
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