Question

3．设关于x的函数y=2cos²x-2acosx-（2a+1）最小值为f（a），求f（a）的解析式．

Answer 1

分析 利用配方对函数解析式化简，结合cosx的值域，讨论$\frac{a}{2}$的范围确定f（a）的解析式，最后综合即可．

解答 解：y=2cos²x-2acosx-1-2a=2（cosx-$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{2}$-2a-1，
当-1≤$\frac{a}{2}$≤1，即-2≤a≤2时，f（a）=-$\frac{{a}^{2}}{2}$-2a-1，
当$\frac{a}{2}$＞1，即a＞2时，f（a）=1-4a，
当$\frac{a}{2}$＜-1，即a＜-2时，f（a）=1．
综合以上，f（a）=$\left\{\begin{array}{l}{1，a＜-2}\\{-\frac{{a}^{2}}{2}-2a-1，-2≤a≤2}\\{1-4a，a＞2}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查了余弦函数的值域和二次函数的性质，函数思想的运用，分段函数等知识．考查了学生综合素质．