Question

对于函数f(x)=log3(x2-2ax+3)．
（1）若a=0，求函数的值域；
（2）若该函数的定义域为R，求实数a的取值范围；
（3）若该函数的定义域为（-∞，1）∪（3，+∞），求实数a的值；
（4）若该函数的值域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=0时，f(x)=log3(x2+3)，由复合函数的单调性可得；（2）要满足题意需△=4a²-12＜0，解不等式可得；（3）需使t=x²-2ax+3＞0的解集（-∞，1）∪（3，+∞），即方程x²-2ax+3=0的两根为1，3，由韦达定理可得；（4）需t=x²-2ax+3能取遍所有正数，有△=4a²-12≥0，解不等式可得．

解答：解：（1）当a=0时，f(x)=log3(x2+3)，
由t=x²+3≥3和对数函数的单调性可知y=log₃t≥log₃3=1，
∴函数的值域为：[1，+∞）
（2）要使函数的定义域为R，需t=x²-2ax+3＞0恒成立，
∴△=4a²-12＜0，解得-

3

＜a＜

3

，
∴实数a的取值范围为：（-

3

，

3

）
（3）要使函数的定义域为（-∞，1）∪（3，+∞），
需使t=x²-2ax+3＞0的解集（-∞，1）∪（3，+∞），
即方程x²-2ax+3=0的两根为1，3，
由韦达定理可得2a=1+3，解得a=2
（4）要使函数的值域为R，需t=x²-2ax+3能取遍所有正数，
故有△=4a²-12≥0，解得a≤-

3

，或a≥

3

，
∴实数a的取值范围为：（-∞，-

3

]∪[

3

，+∞）

点评：本题考查函数的值域和定义域的求解，涉及二次函数的性质以及不等式的解集，属基础题．