题目内容
定义：若函数y=f（x）在某一区间D上任取两个实数x1、x2，且x1≠x2，都有
＞f(
)，则称函数y=f（x）在区间D上具有性质L．
（1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）．
（2）对于函数f(x)=x+
，判断其在区间（0，+∞）上是否具有性质L？并用所给定义证明你的结论．
（3）若函数f(x)=
-ax2在区间（0，1）上具有性质L，求实数a的取值范围．
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
（1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）．
（2）对于函数f(x)=x+
| 1 |
| x |
（3）若函数f(x)=
| 1 |
| x |
分析：（1）写出的函数是下凹的函数即可；
（2）函数f(x)=x+
在区间（0，+∞）上具有性质L．根据定义，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2
只需要证明
-f(
)＞0即可；
（3）任取x1、x2∈（0，1），且x1≠x2则
-f(
)＞0，只需要2-a•x1•x2（x1+x2）＞0在x1、x2∈（0，1）上恒成立，即a＜
，故可求实数a的取值范围．
（2）函数f(x)=x+
| 1 |
| x |
只需要证明
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
（3）任取x1、x2∈（0，1），且x1≠x2则
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| 2 |
| x1•x2(x1+x2) |
解答：解：（1）y=log
x（或其它底在（0，1）上的对数函数）．…（2分）
（2）函数f(x)=x+
在区间（0，+∞）上具有性质L．…（4分）
证明：任取x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2
则
-f(
)=
(x1+
+x2+
)-(
+
)=
•
-
=
=
∵x1、x2∈（0，+∞）且x1≠x2，
∴（x1-x2）2＞0，2x1•x2（x1+x2）＞0
即
-f(
)＞0，
∴
＞f(
)
所以函数f(x)=x+
在区间（0，+∞）上具有性质L．…（8分）
（3）任取x1、x2∈（0，1），且x1≠x2
则
-f(
)=
(
-ax12+
-ax22)-(
-a(
)2)=
-a•
=(x1-x2)2•
∵x1、x2∈（0，1）且x1≠x2，
∴（x1-x2）2＞0，4x1•x2（x1+x2）＞0
要使上式大于零，必须2-a•x1•x2（x1+x2）＞0在x1、x2∈（0，1）上恒成立，
即a＜
，
∴a≤1，
即实数a的取值范围为（-∞，1]…（14分）
| 1 |
| 2 |
（2）函数f(x)=x+
| 1 |
| x |
证明：任取x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2
则
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 1 |
| 2 |
| x1+x2 |
| x1•x2 |
| 2 |
| x1+x2 |
| (x1+x2)2-4x1•x2 |
| 2x1•x2(x1+x2) |
| (x1-x2)2 |
| 2x1•x2(x1+x2) |
∵x1、x2∈（0，+∞）且x1≠x2，
∴（x1-x2）2＞0，2x1•x2（x1+x2）＞0
即
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
∴
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
所以函数f(x)=x+
| 1 |
| x |
（3）任取x1、x2∈（0，1），且x1≠x2
则
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 2 |
| x1+x2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| (x1-x2)2 |
| 2x1•x2(x1+x2) |
| (x1-x2)2 |
| 4 |
| [2-a•x1•x2(x1+x2)] |
| 4x1•x2(x1+x2) |
∵x1、x2∈（0，1）且x1≠x2，
∴（x1-x2）2＞0，4x1•x2（x1+x2）＞0
要使上式大于零，必须2-a•x1•x2（x1+x2）＞0在x1、x2∈（0，1）上恒成立，
即a＜
| 2 |
| x1•x2(x1+x2) |
∴a≤1，
即实数a的取值范围为（-∞，1]…（14分）
点评：本题以函数为载体，考查新定义，考查恒成立问题，解题的关键是对新定义的理解，恒成立问题采用分离参数法．
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