Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$垂直，$\overrightarrow{|a|}$=2，若使得（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=0的$\overrightarrow{c}$的模的最大值为$\sqrt{5}$，则$\overrightarrow{|b|}$=1．

Answer 1

分析 可作$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，根据已知条件，容易说明点C在以AB为直径的圆上，所以|$\overrightarrow{c}$|的最大值便是该圆的直径，再由勾股定理，即可得到所求值．

解答 解：如图，设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$；
∵（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=0，
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）⊥（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$），
∴AC⊥BC，
∴点C在以AB为直径的圆上；
∴OC为该圆直径时|$\overrightarrow{OC}$|最大，即|$\overrightarrow{c}$|最大．
∴|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{5}$．
在直角三角形OAB中，由OA²+OB²=AB²，
即有2²+OB²=（$\sqrt{5}$）²，解得OB=1．
故答案为：1．

点评 本题考查两非零向量垂直的充要条件，以及向量减法的几何意义，直径所对的圆周角为直角，属于中档题．