Question

3．已知函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2sin（x-$\frac{π}{4}$）cos（x-$\frac{π}{4}$），x∈R．
（1）若对任意x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，都有f（x）≥a成立，求a的取值范围；
（2）若先将y=f（x）的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）-$\frac{1}{3}$在区间[-2π，4π]内的所有零点之和．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），由恒成立只需f_min（x）≥a即可，求三角函数区间的最值可得；
（2）由函数图象变换可得g（x）=sinx，可得g（x）-$\frac{1}{3}$=0的零点，由三角函数的对称性可得．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得
f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2sin（x-$\frac{π}{4}$）cos（x-$\frac{π}{4}$）
=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+sin（2x-$\frac{π}{2}$）
=$\frac{1}{2}$cos 2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin 2x-cos 2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin 2x-$\frac{1}{2}$cos 2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
若对任意x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，都有f（x）≥a成立，
则只需f_min（x）≥a即可．
∵-$\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{π}{2}$，∴-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
∴当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$，即x=-$\frac{π}{12}$时，f（x）有最小值-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故a≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）依题意可得g（x）=sinx，由g（x）-$\frac{1}{3}$=0得sinx=$\frac{1}{3}$，
由图可知sinx=$\frac{1}{3}$在[-2π，4π]上有6个零点：x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，x₆．
根据对称性有$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{3π}{2}$，$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$=$\frac{π}{2}$，$\frac{{x}_{5}+{x}_{6}}{2}$=$\frac{5π}{2}$，
∴所有零点和为x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=3π

点评 本题考查三角函数的图象和性质，涉及和差角的三角函数公式，属中档题．