Question

已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为4，离心率为

5

5

．
（1）求椭圆的标准方程； 
（2）若直线L方程为y=x+1，L交椭圆于M、N两点，求|MN|的长．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由短轴长可得b值，由离心率为

5

5

，可得

c

a

=

5

5

，结合a²=b²+c²即可求得a值；
（2）联立方程组消掉y得到x的二次方程，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由韦达定理及弦长公式即可求得弦长|MN|．

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由椭圆短轴长为4得2b=4，解得b=2，
由离心率为

5

5

，得

c

a

=

5

5

，即a²=5c²=5（a²-4），解得a²=5，
所以椭圆的标准方程为

x2

5

+

y2

4

=1；
（2）由

y=x+1 x2 5 + y2 4 =1

得9x²+10x-15=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=-

10

9

，x1x2=-

5

3

，
所以|MN|=

2

•|x₁-x₂|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

(- 10 9 )2-4(- 5 3 )

=

16 5

9

；

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解，弦长公式及韦达定理是解决该类题目的基础知识，要熟练掌握．