题目内容
已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为4，离心率为
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线l过该椭圆的左焦点，交椭圆于M、N两点，且|MN|=
，求直线l的方程．
| ||
| 5 |
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线l过该椭圆的左焦点，交椭圆于M、N两点，且|MN|=
| 16 |
| 9 |
| 5 |
分析：（1）由短轴长可得b值，由离心率为
可得
=
，结合a2=b2+c2即可求得a值，即可得出椭圆的方程；
（2）设直线方程为：y=k（x+1），联立方程组消掉y得到x的二次方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），由韦达定理及弦长公式即可表示弦长|MN|，最后利用弦长建立等式，即可求出直线l的方程．
| ||
| 5 |
| c |
| a |
| ||
| 5 |
（2）设直线方程为：y=k（x+1），联立方程组消掉y得到x的二次方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），由韦达定理及弦长公式即可表示弦长|MN|，最后利用弦长建立等式，即可求出直线l的方程．
解答：解：（1）b=2，c=1，a=
，椭圆的标准方程：
+
=1
（2）由题意知，直线l的斜率存在，所以设直线方程为：y=k（x+1），
{，
，联立得：（5k2+4）x2+10k2x+5k-20=0，
∴x1+x2=
，x1x2=
则：(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
=
-
=
，
∵MN=
|x1-x2|，
∴MN2=(1+k2)(x1-x2)2
即：
=(1+k2).
即：
=
，
=
所以，k=±1，所以直线方程为：y=x+1或y=-x-1．
| 5 |
| x2 |
| 5 |
| y2 |
| 4 |
（2）由题意知，直线l的斜率存在，所以设直线方程为：y=k（x+1），
{，
|
∴x1+x2=
| -10k2 |
| 5k2+4 |
| 5k-20 |
| 5k2+4 |
则：(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
=
| 100k4 |
| (5k2+4)2 |
| 4(5k-20) |
| 5k2+4 |
| 20×16(k2+1) |
| (5k2+4)2 |
∵MN=
| 1+k2 |
∴MN2=(1+k2)(x1-x2)2
即：
| 265×5 |
| 81 |
| 20×16(k2+1) |
| (5k2+4)2 |
即：
| (k2+1)2 |
| (5k2+4)2 |
| 4 |
| 81 |
| (k2+1) |
| (5k2+4) |
| 2 |
| 9 |
所以，k=±1，所以直线方程为：y=x+1或y=-x-1．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解，弦长公式及韦达定理是解决该类题目的基础知识，要熟练掌握．
练习册系列答案
相关题目