题目内容
在△ABC中，a，b，c为三角形的三边，
（1）我们知道，△ABC为直角三角形的充要条件是存在一条边的平方等于另两边的平方和．类似地，试用三边的关系分别给出△ABC为锐角三角形的充要条件以及△ABC为钝角三角形的充要条件；（不需证明）
（2）由（1）知，若a2+b2=c2，则△ABC为直角三角形．试探究当三边a，b，c满足an+bn=cn（n∈N，n＞2）时三角形的形状，并加以证明．
（1）我们知道，△ABC为直角三角形的充要条件是存在一条边的平方等于另两边的平方和．类似地，试用三边的关系分别给出△ABC为锐角三角形的充要条件以及△ABC为钝角三角形的充要条件；（不需证明）
（2）由（1）知，若a2+b2=c2，则△ABC为直角三角形．试探究当三边a，b，c满足an+bn=cn（n∈N，n＞2）时三角形的形状，并加以证明．
分析：（1）根据△ABC为直角三角形的充要条件的表述可得△ABC为锐角三角形、钝角三角形的充要条件．
（2）由题意可得0＜a＜c，0＜b＜c．根据an＜a2•cn-2，bn＜b2•cn-2，可得 c2 ＜a2+b2，从而△ABC为锐角三角形．
（2）由题意可得0＜a＜c，0＜b＜c．根据an＜a2•cn-2，bn＜b2•cn-2，可得 c2 ＜a2+b2，从而△ABC为锐角三角形．
解答：解：（1）△ABC为锐角三角形的充要条件是：任意两边的平方和小于第三边的平方．
△ABC为钝角三角形的充要条件是：存在一条边的平方大于另两边的平方和．
（2）∵an+bn=cn（n∈N，n＞2），∴c边为三角形ABC的最大边，∴0＜a＜c，0＜b＜c．
∴an=a2•an-2＜a2•cn-2，bn=b2•bn-2＜b2•cn-2．
∴cn=an+bn＜a2•cn-2+b2•cn-2=（a2+b2）cn-1，
∴c2 ＜a2+b2，故△ABC为锐角三角形．
综上，当 an+bn=cn（n∈N，n＞2）时，三角形一定是锐角三角形．
△ABC为钝角三角形的充要条件是：存在一条边的平方大于另两边的平方和．
（2）∵an+bn=cn（n∈N，n＞2），∴c边为三角形ABC的最大边，∴0＜a＜c，0＜b＜c．
∴an=a2•an-2＜a2•cn-2，bn=b2•bn-2＜b2•cn-2．
∴cn=an+bn＜a2•cn-2+b2•cn-2=（a2+b2）cn-1，
∴c2 ＜a2+b2，故△ABC为锐角三角形．
综上，当 an+bn=cn（n∈N，n＞2）时，三角形一定是锐角三角形．
点评：本题考查三角形为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的充要条件，证明当 an+bn=cn（n∈N，n＞2）时，c2 ＜a2+b2，是解题的难点．
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在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．满足2acosC+ccosA=b．则sinA+sinB的最大值是（ ）
A、
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| B、1 | ||||
C、
| ||||
D、
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